En la parte final de la "Respuesta a adivinanza" anterior, se planteaba una pregunta: ¿qué máquina es la de la foto?


Y la respuesta es: un pantógrafo reductor que es capaz de reproducir el dibujo realizado sobre la plancha, visible en primer plano, tallándolo sobre la superficie de 16 copas de cristal a la vez, pero a tamaño mucho menor. Entre original y copias, una serie de regletas articuladas producen una transformación geométrica llamada homotecia, que reduce el tamaño del dibujo proporcionalmente.

El funcionamiento de un pantógrafo es muy sencillo, se basa en geometría elemental. Construyamos un pantógrafo muy simple (que sólo reproduciría una vez el dibujo realizado sobre la plancha).


Para ello cortamos cuatro varillas de madera como las de la figura de arriba y las clavamos con cuatro clavos en los puntos X, Y, W y P, de forma que esas uniones sean articuladas, es decir, que se puedan variar los ángulos, y que el cuadrilátero XYPW sea un paralelogramo (es decir: |XY| = |WP|, |YP| = |XW|).

El punto A lo fijamos a una mesa de madera con otro clavo, de forma que también pueda girarse el instrumento alrededor de ese clavo. Luego, el clavo P lo mojamos con tinta roja y el B con tinta verde. El resultado es el que puede verse en el applet siguiente (para verlo necesitarás tener un complemento Java instalado en tu computador).


Si dibujas sobre la mesa una figura con el clavo B, de color verde, obtendrás una copia a escala, de menor tamaño, dibujada en rojo por el clavo P. Análogamente si lo que mueves es el clavo rojo P, obtendrás una copia a escala, más grande, dibujada en verde por el clavo B. En el applet de arriba puedes colocar el ratón sobre el punto rojo P y moverlo, y verás cómo se dibuja una copia verde con el clavo B, a escala, pero más grande. También puedes modificar algunos "parámetros" del pantógrafo (las longitudes |XW|, |XY|, |AY| y |BW|) con los que, en particular, se puede cambiar la escala del dibujo copiado.

La explicación es fácil. Por la forma en que hemos clavado las varillas, los clavos A, P y B siempre están en una misma recta. Además los triángulos XAB e YAP siempre serán semejantes, por mucho que modifiquemos los ángulos moviendo el clavo rojo P. Por tanto |XA|/|YA| = |BA|/|PA|. Es decir, al mover el clavo P las longitudes |BA| y |PA| se van a modificar, pero su proporción (o razón) siempre será la misma: |XA|/|YA| (esas dos longitudes nunca cambian). El hecho de que esa proporción sea constante nos indica que la figura pintada por B será siempre una homotecia de la pintada por P, con centro A y razón (o escala) |XA|/|YA|.

La invención del pantógrafo la debemos al jesuita y matemático alemán Christopher Scheiner, que en 1603 andaba jugando con unas varillas de madera y unos clavos y observó la presencia de una homotecia...  ;-)

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